Hilfeersuchen meiner einen Grundschülerin beim letzten Geigenunterricht:
Gibt es eine mathematische Lösung für eine Summe, bei der die drei letzten Ziffern identisch sind, wenn diese Summe aus der Addition dreier dreistelliger Zahlen hervorgeht, deren Ziffern unter einmaliger Verwendung aus 1-9 bestehen?
Natürlich sollen die Kinder dies durch Probieren herausfinden, aber ich versprach meiner Geigenschülerin, die Lösung dieser interessanten Aufgabe heraus zu knobeln. Und wer möchte, kann nachfolgend mein Vergnügen bei der Lösungsfindung nachvollziehen:
Gesucht: die Zahl yxxx, mit x Element N und 0<x<10
Bei der Addition dreier untereinanderstehender Zahlen mit der einmaligen Verwendung der Ziffern 1-9 ergibt sich zunächst, dass der jeweilige Übertrag nur 0 oder 1 oder 2 betragen kann: y=0 oder 1 oder 2
Des Weiteren ergeben sich aus der Kombinationsmöglichkeit dreier dreistelliger Zahlen aus jeweils drei Ziffern von 1 bis 9 ohne deren Mehrfachnutzung genau neun Lösungsansätze, die auf Wahrheit überprüft werden müssen.
Eine Summe aus eben diesen drei gebildeten dreistelligen Zahlen ergibt nur dann die Zahl yxxx, wenn die Endziffern der zu ermittelnden Zwischensummen, aus denen die Überträge hervor gehen, jeweils gleich x+0 sind, weil nur x+0=x
Indem wir nun die Einer der zu addierenden untereinanderstehenden Zahlen zu einer Zahl a, die Zehner zu einer Zahl b und die Hunderter zu einer Zahl c zusammenfassen, ergeben sich neun Lösungsansätze, die es auf Wahrheit zu überprüfen gilt. Die Lösung für die gestellte Aufgabe ist dann wahr, wenn es wenigstens eine Kombinationsmöglichkeit gibt, bei der sich alle drei Zahlen a und b und c innerhalb einer Lösung aus x+0 oder x+10 oder x+20 zusammensetzen. Der dabei unterschiedlich entstehende Wert y von 0-2 für die zahl yxxx ist hierbei sekundär.
1. a=x, b=x+1*10, c= (x-1) + 2*10, daraus folgt: a=x, b=x+10, c=x+19, daraus folgt: Lösung unwahr
2. a=x, b=x+1*10, c= (x-1) +1*10, daraus folgt: a=x, b=x+10, c=x+9, daraus folgt: Lösung unwahr
3. a=x, b=x+2*10, c=(x-2) +1*10, daraus folgt: a=x, b=x+20, c=x+8, daraus folgt: Lösung unwahr
4. a=x+1*10, b=(x-1), c=x+2*10, daraus folgt: a=x+10, b=x-1, c=x+20 daraus folgt: Lösung unwahr
5. a=x+1*10, b=(x-1) +1*10, c=(x-1), daraus folgt: a=x+10, b=x+9, c=x-1, daraus folgt: Lösung unwahr
6. a= x+1*10, b= (x-1) +2*10, c= (x-2), daraus folgt: a= x+10, b= x+19, c=x-2, daraus folgt: Lösung unwahr
7. a=x+2*10, b=(x-2) +1*10, c= (x-1), daraus folgt: a=x+20, b=x+8, c=x-1, daraus folgt: Lösung unwahr
8. a= x+2*10, b=(x-2), c=x+1*10, a=x+20, b=x-2, c=x+10, daraus folgt: Lösung unwahr
9. a=x+2*10, b= (x-2) +2*10, c=(x-2), daraus folgt: a=x+20, b=x+18, c=x-2, daraus folgt: Lösung unwahr
FAZIT: Nein, für die gestellte Aufgabe gibt es keine wahre
Lösung.
Mir hat das großen Spaß bereitet und ich meine, daß selbst die
Lösungsfindung über das Probieren schon eine Herausforderung für die Kinder darstellt. Ich freue mich, dass solche Aufgaben gestellt werden. Vielleicht gelingt es, die Freude der Kinder an
Mathematik zu wecken.
Carmen Hoyer, 21.09.2019